[ĐẠI HỌC] Phương Trình Và Bất Phương Trình Logarit , công thức, cách làm, bài tập

Phương trình và bất phương trình logarit là một nội dung rất quan trọng trong chương trình toán lớp 12 nói riêng và ôn luyện đại học nói chung. Để giúp học sinh hiểu rõ bản chất cũng như cách giải phương trình và bất phương trình logarit Onthi247 sẽ trình bày đầy đủ trong bài viết này.

I. Kiến Thức Phương Trình và Bất Phương Trình Logarit.

Để nắm vững được lý thuyết trọng tâm và cách giải bài tập của phương trình cũng như bất phương trình logarit các bạn sẽ cần hiểu về kiến thức tổng quan trong bảng dưới đây.

1. Phương trình Logarit

Phương trình logarit là phương trình có dạng chưa ẩn số trong biểu thức dưới dấu logarit, có dạng  log_ax = b ( a > b ; a ≠ 1; x >0) trong đó, x là ẩn số mà ta cần tìm được.

Chứng minh phương trình có nghiệm

Áp dụng công thức logarit ta được: log_ax = b ⇔ x = a^b
Minh họa bằng đồ thị hàm số biểu thức trên ta có:

Biểu đồ phương trình logarit cơ bản

Theo như biểu đồ trên ta có thể thấy đồ thị hàm số y =  log_aa và y = b luôn cắt nhau tại một điểm với mọi b ∈ R

Như vậy, phương trình log_ax = b ( a > b ; a ≠ 1; x >0) luôn có nghiệm duy nhất là x = a^b
với mọi b : VD: log_aa = 2 ⇔ x = 3² = 9

2. Bất phương trình logarit

Cũng giống với phương trình logarit, bất phương trình logarit có dạng:
log_ax > b; log_ax ≥ b ; log_ax < b ; log_ax ≤ b với điều kiện a > 0; a ≠ 1; x > 0

Chứng minh phương trình có nghiệm

Xét bất phương trình trên ta có:

Với a > 1; log_ax > b ⇔ x > a^b
Với  0 < a < 1; log_ax > b ⇔ 0 < x < a^b
Từ 2 trường hợp trên ta minh họa bất phương trình log_ax > b bằng độ thị với 2 trường hợp, ta có:

Như vậy ta có:

Trường hợp 1: a > 1 : log_ax > b khi và chỉ khi x > a^b 
Trường hợp 2: 0 < a < 1; log_ax > b khi và chỉ khi 0 < x < a^b

Vậy nghiệm của bất phương trình Logarit log_ax > b bao gồm:

Ta có ví dụ: log₃x > 5 ⇔ x > 3⁵ ⇔ x = 243

II. Cách Giải Phương Trình và Bất Phương Trình Logarit

1. Giải phương trình và bất phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ.

Ví dụ: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình logarit:

Lời Giải:

Điều Kiện: X > 0

=> Ta có bất phương trinh tương đương: log₂x ≥ 4 hoặc log₂x ≥ 1log₂x ≥ 1

Vậy: x ≥ 16 hoặc x ≤ 2. => Tập nghiệm của bất phương trình S = (0;2] ⋃ [16; + ∞]

2. Giải phương trình và BPT logarit bằng cách đưa về cơ số.

VD: Bất phương trình log₄(x+7) > log₂(x+1) có bao nhiêu nghiệm nguyên.
A. 3      B.1      C.4      D.2

Lời giải

Điều kiện của bất phương trình trên là:

Ta có:
⇔ x² + x – 6 < 0 ⇔ – 3 < x < 2
Kết hợp với điều kiện của bất phương trình ta được: -1 < x < 2
Vì x ∈ Z nên ta có nghiệm x = 0 và x = 1

3. Giải phương trình và BPT logarit bằng phương pháp hàm số.

VD: Cho bất phương trình Logarit :

Lời giải

Điều kiện: x > 1/2 ; x ≠ 2
Khi đó bất phương trình ⇔
Ta có:

Đáp số:

III. Bài Tập Về phương trình và bất phương trình logarit

Luyện bài tập về phương trình và bất phương trình logarit có kèm giải chi tiết : Tại Đây

Trên đầy là toàn bộ thông tin về phương trình và bất phương trình logarit đi kèm với công thức, bài tập và lời giải chi tiết cũng như hướng dẫn các bạn đầy đủ về các dạng bài tập. Chúc bạn luyện thi đại học thật tốt và đạt điểm cao.