A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. KHÁI NIỆM HÌNH ĐA DIỆN

Hình đa diện là hình được tạo thành bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:

    + Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc một đỉnh chung, hoặc một cạnh chung.

    + Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Nói một cách tổng quát: Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) (H) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất trên. Mỗi đa giác như thế được gọi là các mặt của đa diện. Các đỉnh các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của đa diện.

2. KHỐI ĐA DIỆN là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện kể cả hình đa diện đó.

Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài khối đa diện.

Mỗi đa diện (H) chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và miền ngoài của (H). Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng d nào đấy.

Khối đa diện (H) là hợp của hình đa diện (H) và miền trong của nó.

    + Các hình dưới đây là những khối đa diện:

    + Các hình dưới dây không phải là những khối đa diện:

3. MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG VỀ ĐỈNH, MẶT

    Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt.

    Kết quả 2: Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh.

    Kết quả 3: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.

    Kết quả 4: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh.

    Kết quả 5: Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh.

    Kết quả 6: Cho (H) là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Nếu số mặt của (H) là lẻ thì p phải là số chẵn.

    Kết quả 7: Cho (H) là đa diện có M mặt, mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Khi đó số cạnh của (H) là 

    Kết quả 8: Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn.

    Kết quả 9: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ diện.

    Kết quả 10: Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn. (Tổng quát: Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số đỉnh là một số chẵn).