Cho số phức z thỏa mãn |z - (a + bi)| = c, (c > 0), tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P với P = |z + z3| + |z + z4| hoặc P chứa z2, z3 (sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ)

1. Phương pháp

Cách 1: PP lượng giác hóa

Vì tọa độ điểm biểu diễn là đường tròn nên đưa về dạng X2 + Y2 = 1

(Có thể sử dụng trong trường hợp tọa độ điểm biểu diễn là elip)

Đặt X = cosa; Y = sina

Khi đó P biểu diễn theo cosa và sina

Sử dụng MODE 7 khảo sát với START = 0; END = 2; STEP = 

(Chú ý dùng lệnh Shift Mode  5 - 1)

Cách 2: Sử dụng pp BĐT

BĐT Bunhia Copski: (Ax + By)2 ≤ (A2 + B2)(x2 + y2) tìm max

BĐT Mincopxki:

Dấu = xảy ra khi 

BĐT vecto:

Dấu = xảy ra khi 

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn |z - 1| = √2. Tìm GTLN của T = |z + i| + |z - 2 - i|

Hướng dẫn:

Ta có:

Cộng (1) với (2) ta được:

|z + i|2 + |z - 2 - i|2 = 2|z - 1|2 + 4 = 8 (không đổi)

Áp dụng đẳng thức bunhia xcopki:

T2 = (|z + i| + |z - 2 - i|)2 ≤ 2(|z + i|2 + |z - 2 - i|2) = 16 => T ≤ 4