A. Phương pháp giải & Ví dụ

I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

1. Diện tích hình thang cong

    • Giới thiệu cho học sinh về cách tính diện tích của một hình thang cong

    • Từ đó suy ra công thức:

2. Định nghĩa tích phân

    • Cho hàm f liên tục trên một khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số: F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f đi từ a đến b, ký hiệu là:

    Có nghĩa là: 

    • Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) và  thì:

    Trong đó:

    a: là cận trên, b là cận dưới

    f(x) gọi là hàm số dưới dấu tích phân

    dx: gọi là vi phân của đối số

    f(x)dx: Gọi là biểu thức dưới dấu tích phân

II. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

    Giả sử cho hai hàm số f và g liên tục trên K, a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có:

(Tích phân của một tổng hoặc hiệu hai tích phân bằng tổng hoặc hiệu hai tích phân).

    5)  (Hằng số k trong dấu tích phân, có thể đưa ra ngoài dấu tích phân được)

Ngoài 5 tính chất trên, người ta còn chứng minh được một số tính chất như sau:

    6) Nếu f(x) ≥ 0∀x ∈ [a;b] thì:

    7) Nếu: ∀x ∈ [a;b]:  (Bất đẳng thức trong tích phân)

    8) Nếu: ∀x ∈ [a;b] và với hai số M, N ta luôn có: M ≤ f(x) ≤ N. Thì: (Tính chất giá trị trung bình của tích phân)

III. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

    Để tính tích phần từ a đến b, ta tiến hành tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm rồi sau đó thay cận vào theo công thức

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tính tích phân

Hướng dẫn:

Bài 2: Tính tích phân

Hướng dẫn:

Bài 3: Tính tích phân

Hướng dẫn: