Với loạt Tính chất của nguyên hàm và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.

TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM

A. LÝ THUYẾT.

1. Khái niệm nguyên hàm.

- Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) =f(x)  với mọi x thuộc K.

F'(x) = f(x) , ∀x ∈ K.

Định lí:                                          

1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C , với C là một hằng số.

Do đó F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

2. Tính chất của nguyên hàm.

- Nếu F(x) có đạo hàm thì:  

với k là hằng số khác 0.

3. Sự tồn tại của nguyên hàm.

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp.

B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN HAY GẶP VÀ VÍ DỤ.

Phương pháp giải: Áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản đã nêu ở phần lý thuyết để giải các bài toán sau.

Bài toán 1: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên D ⊂ R.

Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) = x2 + 3. Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải

Chọn B.

Bài toán 2: Tìm F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên D ⊂ R. 

Ví dụ 2. Cho .Hỏi F(x) là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

Lời giải

Ta có:

Chọn A.

Bài toán 3: Xác định nguyên hàm của một hàm số với điều kiện cho trước. 

Ví dụ 3. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x) = 3 - 5sinx và f(0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. f(x) = 3x + 5cosx + 5

B. f(x) = 3x + 5cosx + 2

C. f(x) = 3x - 5cosx + 2

D. f(x) = 3x - 5cosx + 15

Lời giải

Ta có  

Do f(0) = 10 nên 3.0 + 5cos0 + C = 10 <=> 5 + C = 10 <=> C = 5 . 

Vậy f(x) = 3x + 5cosx + 5.

Chọn A.

Bài toán 4: Tìm giá trị của tham số để F(x) là một nguyên hàm của f(x). 

Ví dụ 4. Cho kết quả của có dạng, trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

A. 2

B. 1

C. 9

D. 32

Lời giải

Theo đề, ta cần tìm. Sau đó, ta xác định giá trị của a.

Ta có:

Suy ra đểcó dạng thì a = 1, b = 2.

Chọn B.