A. Phương pháp giải & Ví dụ

Giả sử phương trình có dạng f(x) = g(x)    (*)

    • Bước 1: Nhẩm được một nghiệm x0 của phương trình (thông thường chọn nghiệm lân cận 0).

    • Bước 2: Xét các hàm số y = f(x)(C1) và y = g(x)(C2). Ta cần chứng minh một hàm đồng biến và một hàm nghịch biến hoặc một hàm đơn điệu và một hàm không đổi. Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Hoặc đưa phương trình về dạng f(x) = 0

    • Bước 1: Nhẩm được hai nghiệm x1; x2 của phương trình (thường chọn nghiệm lân cận 0).

    • Bước 2: Xét các hàm số y = f(x). Ta cần chứng minh f'(x) = 0 có nghiệm duy nhất và f'(x) đổi dấu khi đi qua nghiệm đó. Từ đây suy ra phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm.

Hoặc:

    • Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng f(u) = f(v) .

    • Bước 2: Chứng minh hàm f(x)là hàm đơn điệu, suy ra u = v

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình log3 (x+2) + log7 (3x+4) = 2

Hướng dẫn:

Phương trình có một nghiệm x = 1

f(x) = log3(x+2) + log7(3x+4) ⇒ f'(x) > 0, nên f(x) đồng biến trên tập xác định ;g(x)=2là hàm hằng. Nên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1

Bài 2: Giải phương trình log2 (x2-x-6)+x=log2 (x+2)+4

Hướng dẫn:

Phương trình (2)có một nghiệm x = 4

f(x) = log2(x-3), đồng biến trên tập xác định; g(x) = 4-x nghịch biến trên tập xác định. Nên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 4.

Bài 3: Giải phương trình

Hướng dẫn:

⇔ log2 (x2-x+1)-log2 (2x2-4x+3) = x2-3x+2 ⇔ log2 (x2-x+1) + (x2-x+1) = log2 (2x2-4x+3)+(2x2-4x+3) (3)

Xét hàm số f(t) = log2 t+t có f'(t) > 0 nên hàm số đồng biến trên tập xác định. Khi đó có f(x2-x+1) = f(2x2-4x+3) ⇒ x2-x+1 = 2x2-4x+3 ⇔ x2-3x+2=0

Nên phương trình đã cho có tập nghiệm là {1;2}