A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Cực trị của hàm số bậc ba

Hàm số có cực trị y' = 0 có hai nghiệm phân biệt .

Nếu hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d(a ≠ 0) có hai điểm cực trị x1,x2 và

y = g(x).y^' + a.x + b thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình y = ax + b và giá trị cực trị là của hàm số là y1 = a.x1+b; y2 = a.x2 + b

Tìm điều kiện cuả tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn hệ thức cho trước

    - Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.

   - Phân tích hệ thức để áp dụng vi-et cho phương trình bậc hai.

2. Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

(C)có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Khi đó hàm số có 3 điểm cực trị thì 3 điểm cực trị là 0;

Tọa độ 3 điểm cực trị tương ứng của đồ thị hàm số là: 

Nhận xét: tam giác ABC cân tại A, có A ∈Oy ;

Tam giác ABC vuông tại 

hoặc ΔABC vuông cân tại A ⇔ BC2 = AB2 + AC2

Tam giác ABC đều 

hoặc ΔABC đều ⇔ BC2 = AB2

Đặc biệt: Tam giác ABC có một góc bằng 120° 

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là

Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là:

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 - 3(m + 1)x2 + 9x - 2m2 + 1 (C). Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C) có cực đại, cực tiểu tại x1, x2 sao cho |x1 - xc | = 2

Hướng dẫn

Ta có y' = 0 ⇔ x2 - 2(m + 1)x + 3 = 0. ĐK có 2 điểm cực trị Δ' = (m + 1)2 - 3 > 0

Khi đó

Ví dụ 2. Cho hàm số  (C). Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C) có cực đại, cực tiểu tại x1,x2 sao cho x12 + x22 = 6

Hướng dẫn

Ta có y' = x2 - mx + m2 - 3. ĐK có 2 cực trị Δ = m2 - 4(m2 - 3) = 12 - 3m2 > 0

Khi đó 

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = x4 - 2mx2 + 2m4 - m có ba điểm cực trị đều thuộc các trục tọa độ.

Hướng dẫn

Ta có y' = 4x3 - 4mx = 4x[x2 - m].

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi:

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A(0; 2m4 - m), B(-√m; 2m4 - m2 - m), C(√m; 2m4 - m2 - m)

Có A Oy.Khi đó ba điểm cực trị đều thuộc các trục tọa độ

⇔ yB = 0 = yC ⇔ 2m4 - m2 - m = 0 ⇔ m = 1