A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D

Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu: 

Kí hiệu: 

Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu: 

Kí hiệu: 

2. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2. Tìm các nghiệm của f'(x) và các điểm f'(x)trên K.

Bước 3. Lập bảng biến thiên của f(x) trên K.

Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận 

3. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên

Trường hợp 1. Tập K là đoạn [a; b]

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈[a; b] của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm αi ∈ [a; b] làm cho f'(x) không xác định.

Bước 3.Tính f(a), f(b), f(xi), f(αi).

Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận 

Trường hợp 2. Tập K là khoảng (a; b)

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ (a; b) của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm αi ∈ (a; b) làm cho f'(x) không xác định.

Bước 3. Tính 

Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận 

Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 2 trên đoạn [-2; 2].

Hướng dẫn

Ta có: y' = 3x2 - 6x - 9 = 0 ⇔

Mà y(-2) = 0; y(2) = -20; y(-1) = 7.

Suy ra 

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 

Hướng dẫn

Tập xác định: D = [-2; 2]. Ta có: 

Khi đó y' = 0 ⇔ 

Có y(√2) = 2√2, y(2) = 2 ,y(-2) = -2.

Vậy 

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x - sin⁡2x trên đoạn [π/2; π]

Hướng dẫn

Ta có y' = 1 - 2cos2x = 0 ⇔ cos2x = 1/2 = cos π/3 ⇔ x = ±π/6 + kπ.

Xét x ∈[(-π)/2; π] ta được x = ±π/6; x = 5π/6.

f((-π)/2) = -π/2; f(π) = π; f((-π)/6) = -π/6 + √3/2; f(π/6) = π/6 - √3/2; f(5π/6) = 5π/6 + √3/2.

Suy ra